|
Системы счисления (исторический обзор)
Сейчас в
большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках,
считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то
пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной
Европе, не говоря уже о какой-нибудь Африке или Америке. Но тем не
менее числа люди все равно как-то записывали. У каждого народа была своя
собственная или позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни
использовали буковки, другие - значки, третьи - закорючки. У кого-то получалось
удобнее, у кого-то не очень. Ведь не
так-то просто даже имея цифры (значки, которыми записываются числа), записать
какое-нибудь число. Для этого нужна система счисления (способ записи чисел с
помощью цифр). (Сразу хочу предупредить, что системы счисления бывают
непозиционными и позиционными или аддитивными и мультипликативными Но не стоит пугаться таких грозных слов, на деле все очень
просто). Самая
простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать,
столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно,
пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с
помощью кучки камушков, а 1 000 000?. Неудобно? Тогда стали
люди придумывать как по другому записывать большие
числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет
пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления. Но люди
никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось
людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое
число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество
цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит.
Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система
очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее
пределами. Но далеко
не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об
алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой
системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную
мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное
свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи
числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами
сейчас и пользуемся. Здесь
собраны наиболее известные нумерации мира: Древнеегипетская
нумерация Древнегреческая нумерация Вавилонская нумерация Нумерация индейцев Майя Старо-Китайская нумерация Славянская кириллическая нумерация Славянская глаголическая нумерация Латинская нумерация Современная арабская нумерация Самая простая система счисления В этой системе счисления
для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде
палочки , кружочка , или любой другой фигуры. Числа будут
записываться примерно так:
Такая система счисления использовалась, и до сих пор
используется в основном народами, не имеющими письменности. Но иногда такой системой
счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество
прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество
проданных товаров. Алфавитные аддитивные системы счисления В этой системе счисления
для записи чисел используется уже не несколько цифр, а большая часть алфавита.
Все цифры здесь изображаются в точности так же, как и буквы алфавита того
народа, который использовал эту систему. Эта система счисления была
очень распространена. Даже по сей день мы часто используем,
например, римские цифры. Такая система счисления уже
годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета. Любое из четырех
действий арифметики может вызвать затруднение. Для счета здесь нужна большая
сноровка. Вы только попробуйте
разделить два вот таких числа: XCIX и XXXIII А ведь всего-то это 99 : 33.Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались
Римляне, Греки, Арабы,
Евреи, Сирийцы,
Славяне,
Грузины. Аддитивные системы счисления В этой системе счисления
для записи чисел используется уже не одна, а несколько цифр. Они могут
изображаться так, как взбредет в голову, но только разные цифры должны
выглядеть по-разному. Например в Египте единицы
записывали палочками
Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она
крайне неудобна для счета. Вы только попробуйте
перемножить два вот таких числа:
А ведь всего-то это 1457 2026.Удобств
для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались
Египтяне, Ацтеки,
племена Майя. Системы счисления Система счисления - очень
сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются
и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними. Самое главное, что нужно
знать о системе счисления - ее тип: аддитивная или
мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для
прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр: XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219; Во втором типе каждая цифра
может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5) 2 1000 + 4 100+2 10+5 = 2425 Для аддитивной системы
нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4 - 5 десятков), и
порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то
сложение (IV = (5-1) = 4; VI = (5+1) = 6). Для мультипликативной
системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание
очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если
проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например,
используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание
нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичная". В вышеприведенном примере
используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000,
10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система
счисления - десятичная. Как можно догадаться,
сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но
используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете,
почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да,
именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. "Но на одной
то руке всего пять пальцев" - скажут некоторые и будут правы. История
человечества знает примеры пятеричных систем счисления. "А с ногами -
двадцать пальцев" - скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно
так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам. Очень интересно понятие
"дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число
- мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг
на всех пальцах одной руки, не считая большого?
Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные
фаланги. А если на другой руке
откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную
шестидесятеричную вавилонскую систему. В разных цивилизациях
считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях
цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся
этим народом. Так у французов когда-то
была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как
"четырежды двадцать". Римляне, или их
предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим
пальцем, а X - это две таких же руки. Мультипликативные системы счисления В таких системах счисления
для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут
принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все
цифры здесь изображаются определенными символами. Например 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
11, 12, …, 99, 100, 101 … Запись числа 1999
означает, что 1 1000 + 9 100 + 9 10 + 9. Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение
(multiplication англ.), из-за чего систему и назвали
"мультипликативной". Такие системы счисления
были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления. Такая система счисления
годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий
арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна
большая сноровка. Впервые такая система,
вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была
изобретена в
Китае, потом
в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу.
Здесь эту систему счисления назвали
Арабской, и под этим
именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа"
надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские. Египетская нумерация Египтяне придумали эту
систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи
чисел, известная человеку.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и
заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или
какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
Попробуйте сложить эти два
числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя. Новая, или арабская нумерация Это, самая распространенная
на сегодняшний день нумерация. Название "арабская" для нее не совсем
верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже
была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия. В различных районах Индии
существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них
выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих
числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит
"Деванагари".
Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, …
9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или
кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари"
превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой
переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система
нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние
страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию. Решающую роль в
распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство,
составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в
Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация
получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI
веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее
"арабской". Это исторически неправильное название удерживается и
поныне. Из арабского языка
заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"),
означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова
"сунья", имеющего тот же смысл). Это слово
применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII
века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр
претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.
Древнее изображение десятичных цифр не
случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0
— углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр
претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в
XVI веке. Латинская (Римская) нумерация Это, наверное, самая
известная нумерация, после арабской. С нею мы
достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах,
указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в
древнем Риме. Использовалась она для аддитивной алфавитной системы счисления
Прежде знак M изображался знаком Ф, потому
то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же
построена и пары L и C, X и V. Записывались цифры числа начиная с больших значений и
заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с
меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило
ее вычитание. CCXXXVII = 100+100+10+10+10+5+1+1 = 237 Но XXXIX = 10+10+10-1+10 = 39 Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с
правилом вычитания, например: XXXX = XC (50-10) IIII = IV (5-1) CCCC = CD (500-100) О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В
римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В
языке же римлян ни каких
следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у
другого народа (скорее всего этрусков). Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в
других странах Западной Европы - до XVI века. Славянская глаголическая нумерация Эта нумерация была создана
для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она
нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую
нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.
Записывались цифры числа начиная с больших значений и
заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков,
единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется
только сложение:
Для того, чтобы не перепутать буквы
и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки. Славянская кириллическая нумерация Эта нумерация была
создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг
для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое
распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью
чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет
буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то
есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века
эта форма записи чиcел была
официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии,
Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют
эту нумерацию.
Записывались цифры числа
начиная с больших значений и заканчивая меньшими,
слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то
его пропускали. Интереснее всего записывались числа второго десятка:
Читаем дословно
"четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и
пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19.
Таким образом у славян мы прослеживаем десятеричную
систему счисления. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в
ней используется только сложение:
Для того, чтобы не перепутать буквы
и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы
видим на рисунке. Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались
специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные Тысяща - 1 000,
Леон - 10 000, Одр - 100 000, Вран (ворон) - 1 000 000,
Колода - 10 000 000,
Тьма - 100 000 000.
Со словом "Тьма" связана поговорка
"тьма-тьмущая", означающая немыслимо много. В "Слове о полку
Игореве" мы встречаем фразу "орда покрыла вороновым крылом",
которую можно истолковать как "побила большой силой", где
"большой" можно сравнить с полумиллионом человек. В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII
века. При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация" Китайская нумерация Эта нумерация
одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же
принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000
тысяч лет тому назад в Китае.
Записывались цифры числа
начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если
десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не
ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен
знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать
разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного
иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном
разряде.
Такая запись числа мультипликативна, то есть в ней используется умножение: 1 1 000 и 5 100+4 10+8 Нумерация индейцев Майя Эта нумерация очень
интересна тем, что на ее развитие не повлеяла ни одна
из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала
эта нумерация обслуживала пятиричную систему
счисления, а потом ее приспособили для двадцатиричной.
Записывались цифры числа в
столбик, начиная со знаков
20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23 Такая запись числа аддитивна, то есть в ней используется
только сложение: Вавилонская нумерация В древнем Вавилоне примерно
за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ
записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа,
смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже
поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет
число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной.
Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков:
а это число 59. Вавилонский способ
обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: В этом
случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:
Так записывается число 302, то есть 5
А это 1 При отсутствии разряда
вставлялся значек
это запись числа 7203 (26060 Однако отсутствие низшего
разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 360 записывалось
так Шестидесятеричная система
счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60
записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и
как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось
множество гипотез, но ни одна не доказана. Шестидесятеричная запись
целых чисел не получила широкого распространения за пределами
Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти
пределы: Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка, Западная Европа
пользовались ими. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до
изобретения десятичных дробей, т. е. До начала XVII века. Следы
шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового
градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд. Древняя греческая нумерация В древнейшее время в
Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой
нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством
вертикальных полосок: Число 10 обозначалось Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:
Примерно в третьем веке
до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так
называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9
обозначаются первыми буквами греческого алфавита:
числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:ѓ
числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же
цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком
сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
Примерно по такому же принципу организованную систему
счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. Шестидесятеричная
система счисления Особый интерес представляет так
называемая "вавилонская " , или
шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в
Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта
система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того,
что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной,
другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла
возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй
гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной
360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой
системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус =
60 минут . В целом шестидесятеричная система счисления
громоздка и неудобна. Двенадцатеричная
система счисления Довольно широкое распространение имела
двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счётом на
пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего
их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в
системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные
и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук. 20 У ацтеков и
майя народов, населявших в течение многих столетий обширные области
Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и
математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Также
двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную
Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой
системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной
системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная
денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су). 12 Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система
счисления, Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой
палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12. Элементы
двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии" в системе мер (1
фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы
сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые
сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.
|
, а десяток
палочек заменяли на изображение пут для коров
, десяток пут
- одна мерная веревка
, и т. д. Для
того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому
такие системы назвали аддитивными (
= 800+60+3
для единицы, и
для десятка.
Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках
палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например 
, 
(древнее
начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" -
"
.
- 
.
