Понятия регулярной и нерегулярной, прямоугольной и треугольной сетки

    Для построения изолиний можно использовать как прямоуголь­ную, так и треугольную сетки. Причем данные виды сеток могут быть регулярными (равномерными) и нерегулярными (неравномерными).
    Модель равномерной сетки описывает координаты отдельных то­чек поверхности следующим способом: каждому узлу сетки с ин­дексами (i,j) приписывается значение высоты z_ij. Индексам (i,j) от­вечают определенные значения координат (x, у). Расстояние между узлами одинаковое - dx по оси x, dу по оси у. Фактически такая мо­дель это двумерный массив, каждый элемент которой сохраняет значение высоты.
    Не каждая поверхность может быть представлена этой моделью. Если в каждом узле (i,j) записывается только одно значение высоты, то это означает, что поверхность описывается однозначной функцией z = f(x,y). Иначе говоря, это такая поверхность, которую каждая вер­тикаль пересекает только один раз. Необходимо заметить, что сетка может быть задана не только в декартовых координатах. Например, для того чтобы описать поверхность шара однозначной функцией, можно использовать полярные координаты. С помощью равномерной сетки часто описывают рельеф земной поверхности.
    Равномерная сетка имеет ряд положительных характеристик:
    - простота описания поверхностей;
    - возможность быстро узнать высоту любой точки поверхности простой интерполяцией.
    Недостатки равномерной сетки:
    - поверхности, которые соответствуют неоднозначной функция высоты в узлах сетки, не могут быть смоделированы;
    - для описания сложных поверхностей необходимо большое ко­личество узлов, которое может быть ограничено объемом памяти компьютера.
    Неравномерной сеткой называется модель описания поверхности в виде множества отдельных точек {(x₀, y₀, z₀), (x₁, y₁, z₁), ... (x_n-1, y_n-1, z_n-1)}, принадлежащих поверхности. Эти точки могут быть получены, например, в результате измерений поверхности какого-нибудь объ­екта с помощью определенною оборудования. Причем, векторная по­лигональная модель и равномерная сетка могут считаться разновид­ностями неравномерной сетки.
    Рассмотрим модель поверхности в виде множества точечных зна­чений, логически никак не связанных между собой. Неравномерность задания опорных точек усложняет определение координат для дру­гих точек поверхности, которые не совпадают с опорными точками. Требуются специальные методы пространственной интерполяции.
    Вспомним: интерполяция в вычислительной математике это способ нахождения промежуточных значений величи­ны по имеющемуся дискретному набору известных значений; аппроксимация (или приближение) научный метод, состоя­щий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.
    Положительные черты неравномерной сетки:
    - использование отдельных опорных точек, наиболее важных для за­данной формы поверхности, обусловливает меньший объем информа­ции по сравнению е другими моделями, например с равномерной сеткой;
    - применение изолиний на картах и планах позволяет наглядно отображать рельеф поверхности.     
    Недостатки:
    - невозможность или сложность выполнения многих операций над поверхностями;
    - сложность алгоритмов преобразования в другие формы описа­ния поверхностей.
    Пусть имеется прямоугольная сетка, вершинами которой являют­ся высотные характеристики на местности. Изолиния может пересе­кать составляющие сетки (прямоугольник) но двум, трем, а также че­тырем сторонам. При использовании данною вида сетки возникает ряд проблем, во-первых, она не удобна для задачи построения циф­ровой модели рельефа норой из-за невозможности построения пря­моугольников по предварительным данным на местности, во-вторых, возникает проблема при непосредственно сшивании изолиний вслед­ствие множества пересечений со сторонами прямоугольника.
    В основном принято использовать треугольную сетку, так как не возникает проблем построения треугольников по каким-либо имею­щимся данным, причем треугольной сеткой можно аппроксимиро­вать любую поверхность более точно, чем четырехугольной. Также следует отметить гот факт, что если изолиния проходит через какой-либо треугольник сетки, то она пересекает его точно но двум сторо­нам, при этом выполняется условие min(z₁, z₂, z₃) < h < max(z₁, z₂, z₃), где z_i – высоты вершин соответствующего треугольника. Это в даль­нейшем позволяет без проблем прослеживать поведение изолиний на всей треугольной сетки, т.е. сшивать их, при лом нам понадобиться лишь иметь информацию о соседстве треугольников.
    Замечание. Условие наличия в любой окрестности точки с меньшей высотой позволяет избежать неопределенное гей, когда в триангуляции имеются горизонтальные ребра или даже треугольники (плато) с высотой h. В противном случае изолиния не будет представляться в виде линий.