Раздел 2. Выборочная и генеральная совокупность

Генеральная и выборочная совокупности.

Статистическая совокупность

Генеральная (включает все единицы наблюдения, которые могут быть к ней отнесены в соответствии с целью исследования.) Генеральная совокупность может рассматриваться не только в пределах конкретных производств или территориальных границ, но также и ограничиваться другими признаками (пол, возраст) и их сочетанием.

Таким образом, в зависимости от цели исследования и его задач изменяются границы генеральной совокупности, для этого используют основные признаки, ее ограничивающие.

Выборочная (часть генеральной совокупности, которая должна быть репрезентативной по отношению к генеральной и наиболее полно отражать ее свойства). На основе анализа выборочной совокупности можно получить достаточно полное представление о закономерностях, присущих всей генеральной совокупности.

Выборочная совокупность должна быть репрезентативной, т. е. в отобранной части должны быть представлены все элементы и в таком же соотношении, как в генеральной совокупности. Иными словами, выборочная совокупность должна отражать свойства генеральной совокупности, т. е. правильно ее представлять. Репрезентативность должна быть количественной и качественной.

Количественная - основана на законе больших чисел и означает достаточную численность элементов выборочной совокупности, расчитываемую по специальным формулам и таблицам.

Качественная - основана на законе вероятности и означает соотвестиве (однотипность) призщнаков, характеризующих элементы выборочной совокупности по отношению к генеральной.

Методы формирования выборки:

-случайная выборка - отбор единиц наблюдния наугад.

-Механическая выборка- арифметический подход к отбору едниц наблдения типологическая выборка - при формировании генеральная совокупность предварительно делится на типы с послед. отбором единиц наблюдения из каждой типичесской группы. При этом число единиц можно отобрать пропорционально численности типической группы и непропорционально- Серийная выборка (гнездовой выбор) - формируется с помощью отбора не отдельных единиц наблюдения, а целых групп, серий, или гнезд, в состав которых входят организованные отдельным образом единицы наблюдения

Метод многоступенчатого отбора - по количеству этапов различают отдноступенчатый, двуступенчатый, терхступенчатый и т.д. метод направленного выбора- позволяет выявить влияние неизвестных факторов при устанавлении влияния известных

Алгоритмы параметрических критериев.

Параметрические критерии применяются для выборок с нормальным законом распределения. Формула расчета этих критериев содержат параметры выборки: среднее, дисперсии и др. Поэтому они называются параметрическими. Нормальность закона распределения должна быть статистически доказана с помощью одного из критериев согласия: критерий Пирсона, F-критерия Фишера, -критерия Колмогорова и др.

В ряде случаев параметрические критерии мощнее непараметрических критериев. У последних выше вероятность возникновения ошибки второго рода – принятия ложной нулевой гипотезы.

К параметрическим методам относятся следующие:

– Критерий Стьюдента

– Критерий Фишера

– Методы однофакторного анализа

– Методы двухфакторного анализа

Критерий Стьюдента

Назначение.
Критерий позволяет оценивать различия средних значений выборок, имеющих нормальное распределение.

Описание критерия.

Критерий применим для сравнения средних значений двух выборок полученных до и после воздействия некоторого фактора.

Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок

Для двух несвязанных выборок(наблюдения не относятся к одной и той же группе объектов ) возможны два варианта расчета:

• когда дисперсии известны
• когда дисперсии неизвестны, но равны друг другу.

1. Предварительно проверяется нормальность закона распределения по одному из критериев согласия.
2. Рассчитывается средне арифметические значения и для каждой выборки по формуле  где  – значение i-го результата наблюдения.
3. Рассчитывается  - эмпирическое значение критерия Стьюдента:

Где 

квадратичного отклонения. Здесь  и  – оценки дисперсий.

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае 



В случае наравночисленных выборок , выражение 

В обоих случаев подсчет числа степеней свободы осуществляется по формулам



Понятно, что при численном равенстве выборок 

 

Эмпирическое значение  критерия Стьюдента сравнивается с критическим значением (по таблице 1 приложения) для данного числа степеней свободы. 

Нулевая гипотеза при заданном уровне значимости  принимается, если эмпирическое значение .

Пример рассчитаем на лабораторной работе.

Пример.

Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в мс) в контрольной и экспериментальных группах. В экспериментальную группу (Х) входило 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающиеся спортом. Психолог приверяет гипотезу о том , что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем та же величина у людей, не занимающихся спортом.

Cредне арифметические значения X и У: , в контрольной группе .

Тогда

^ Число степеней свободы k=9+8-2=15

По таблице приложения для данного числа степеней находим

Строим ось значимости

Т.о. обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,1% уровне или иначе говоря средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше чем в группе людей активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так : гипотеза Н0 о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза Н1 – о различии между экспериментальной и контрольной группой.

Двухвыборочный t-критерий для зависимых(связанных) выборок

Под связанными выборками понимаются наблюдения для одной группы объектов, причем все наблюдения попарно связаны с каждый объектом исследования и характеризуют его состояние до воздействия и после воздействия некоторого фактора.

Гипотезы

: среднее значение в выборке не отличается от нуля.

: среднее значение в выборке отличается от нуля.

1.      Предварительно проверяется нормальность закона распределения по одному из критериев согласия.

2.      Рассчитывается  (i=1..n) – попарные разности вариант,  и  результаты измерений для i-го объекта до и после воздействия некоторого фактора. Величину  будем считать независимой для разных объектов и нормально распределенной

3.      Рассчитываются (лучше в табличной форме): сумма попарных разностей и вспомогательные параметры  и .

4.      Рассчитывается  - эмпирическое значение критерия  степенями свободы по формуле

 

Где n – численность выборки.

5.Найденное эмпирическое значение  критерия Стьюдента сравнивается с критическим значением (по таблице 1 приложения) для данного числа степеней свободы. 
Нулевая гипотеза при заданном уровне значимости  принимается, если эмпирическое значение .

Критическое значение для выбранной вероятности и заданного числа степеней свободы можно найти по встроенной в Excel функции СТЬЮДРАСПОБР.

Пример.

Психолог предположил, что в результате тренировки, время решения эквивалентных задач (т.е. имеющих один и тот же алгоритм решения ) будет значительно уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задачи.

Решение задачи представим в таблице.

Число степеней свободы =8-1=7. По таблице Приложения находим 



 

Строим ось значимости

Т.о. на 5% уровне значимости, первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения 3-ей задачи, существенно меньше времени решения 1-ой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на5% уровне гипотеза Н0 отклоняется и принимается гипотеза Н1 о различиях.


Критерий Фишера.

Критерий используется для сравнения дисперсий двух выборок с нормальным распределением.

Сравнения дисперсий двух выборок производятся по отношению большей по величине дисперсии(записывается в числителе) к меньшей (записывается в знаменателе). Поэтому значения критерия больше или равно 1,0.

Гипотезы

: Дисперсия выборке 1 не отличается от дисперсии в выборке 2

: Дисперсия выборке 1 отличается от дисперсии в выборке 2

Ограничения

Данные в выборках должны быть измерены по шкале интервалов или по шкале отношений.

Обе сравниваемые выборки должны иметь нормальный закон распределения.