Раздел 9. Дисперсионный анализ

Может быть поставлена задача сравнения двух выборочных дисперсий.

Для ее решения применяется критерий, названный в честь английского статистика

Рональда Фишера (1890 - 1968) F критерием. Этот критерий представляет собой

отношение выборочных дисперсий s21 иs22, которые рассматриваются как оценки

одной и той же генеральной дисперсии σ2:

Испытуемая гипотеза является нулевой гипотезой Н0 : σ21 = σ22 = σ2, альтернативная

гипотеза Н1 : σ21 ? σ22 ? σ2 .

F - критерий строится так, что в числителе стоит большая дисперсия. Fmin = 1,

Fmax → ∞ .Критические значения критерия F берутся из таблиц F-распределения.

F-распределение зависит от уровня значимости и от числа степеней свободы

сравниваемых дисперсий d.f.1 и d.f.2 (cм. приложение, табл. 3).

В дисперсионном анализе общая вариация подразделяется на составляющие и

производится сравнение этих составляющих. Испытуемая гипотеза состоит в том,

что если данные каждой группы представляют случайную выборку из нормально

распределенной генеральной совокупности, то величины всех частных дисперсий

должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно

рассматривать как оценку генеральной дисперсии.

Дисперсионный анализ часто применяется совместно с аналитической группировкой

(см. гл. 6). Вэтом случае данные подразделяются на группы по значениям

признака-фактора, вычисляются значения средних величин результативного признака

в группах, считается, что различия в их значениях определяются различиями в значениях

фактора. Задача состоит в оценке существенности различий между средними

значениями результативного признака в группах.Итак, испытуемая гипотеза может

быть записана как гипотеза о средних величинах Н0 : μ1 = μ2=μ3 =…

Как было показано в предыдущем параграфе, когда выделяются две группы,

этазадача решается с помощью t-критерия. Если же число сравниваемых групп

больше двух, тосущественность различий между группами доказывается с помощью

дисперсионного анализа,на основе F-критерия. Заметим, что результаты дисперсионного

анализа, так же как и выводыо характере связи, значения показателей ее силы и

тесноты, зависят от числа групп,выделенных по признаку-фактору.

В случае выделения групп по одному фактору мы имеем так называемый однофакторный

дисперсионный комплекс. Разложение дисперсии при этом производится в

соответствии справилом сложения дисперсий (см. гл. б):

где уij - значение результативного признака у i-й единицы в j-й группе;

i - номер единицы, i = 1, .... п.;

j - номер группы;

пj- численность у-й группы;

yj - средняя величина результативного признака в у-й группе;

у? — общая средняя результативного признака.

Если обозначить суммы квадратов отклонений буквой D, получим равенство:

Dобщ = Dфакт +Dост (7.41)

На основе разложения дисперсии (7.41) в соответствии с гипотезой отсутствия

различий междугруппами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии,

пропорциональные степенисвободы: на основе общей вариации, межгрупповой

(факторной) и внутригрупповой(остаточной). Число степеней'свободы равно:

для общей вариации

для межгрупповой вариации ;

для внутригрупповой вариации

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством:

или

п - 1 = (m - 1) + (п - т). (7.42)

Деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы

дает триоценки генеральной дисперсии σ2 .

, (7.43)

Поскольку Dфакт измеряет вариацию результативного признака, связанную с

изменениемфактора, по которому произведена группировка, a Dост - вариацию,

связанную с изменениемвсех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных

на одну степень свободы, даетвозможность оценить существенность влияния

признака-фактора на результативный признак спомощью F-критерия:

Эта запись предполагает, что s2факт > s2ост. Как правило, мы получаем именно

такоесоотношение. Если F факт > Fтабл (α., d.f.1, d.f.2), можно утверждать, что

нуль-гипотеза несоответствует фактическим данным, влияние признака-фактора

является существенным или,иначе говоря, статистически значимым.

Рассмотренные этапы однофакторного дисперсионного анализа представлены в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Схема однофакторного дисперсионного анализа

Источник вариации

Сумма квадратов отклонений

Число степеней свободы

d.f.

Средний квадрат отклонений

s2=D:d.f.

F-критерий

Между группами

m-1

s21

Внутри групп

n-m

s22

Общая

n-1

По данным табл. 6.6 проверим гипотезу Н0 : μ 1= μ2 ..., т. е. предположим, что

оборачиваемость средств никак не влияет на прибыль.

Dфакт = 172,76, d.f.факт =3-1=2, σ21 = 86,38;

Dост – Dобщ - Dфакт = 224,4 - 172.76 = 51,64;

d.f.ост = 20 - 3=17; s22 = 3,03.

Тогда F = 28,5. Критическое значение F-критерия из табл. 3 приложения

F(α=0,05, d.f.1=2,d.f.2=17) = 3,59. Таким образом Fфакт > Fкрит следовательно,

Н0 отклоняется.Действительно, скорость оборота средств является очень важным

фактором формированияприбыли, на это указывало и значение эмпирического

корреляционного отношения η = 0,881.

Рассмотрим двухфакторный дисперсионный анализ, основой проведения которого

служиткомбинационная группировка по двум факторам х и z, с последующим

разложением дисперсиирезультативного признака у:

(7.44)

где i - номер единицы в j-й группе по признаку х и k-й по признаку z;

j = 1?,т?,

k =I?р?, у?jk - среднее значение признака у? в группе, образованной комбинацией

j-го значенияпризнака х и k-го значения признака z;

у?j - среднее значение признака у в j-й группе по признаку х;

y?k - среднее значение признака у в k-й группе по признаку z;

у? - общая средняя признака y в целом по выборке;

пjk - число единиц в группе, образованной комбинацией j-го значения

признака х и k-го значенияпризнака z;

пj - число единиц в j-й группе по признаку х,

пk - число единиц в k-й группе по признаку z;

т Р т р

п- общее число единиц,

Равенство (7.44) можно записать так:

Dобщ = Dx + Dz + Dxz + Dост (7.45)

где Dч - вариация у под влиянием фактора x;

Dz - вариация у под влиянием фактора z;

Dxz - вариация у, обусловленная взаимодействием факторов х и z;

Dост - вариация у под влиянием прочих факторов.

Первые три слагаемые составляют вариацию признака у, вызванную

изучаемыми факторами,поэтому равенство (7.45) можно записать в виде:

Dобщ = Dфакт +Dост (7.46)

где

Dфакт = Dх + Dz + Dxz. (7.47)

Величина Dфакт может быть рассчитана не через составляющие,

а непосредственно как

(7.48)

Однако при неравенстве численностей подгрупп пjk и групп пj и пk

равенство нарушается (засчет взвешивания при неравных весах).

Поэтому рассчитываются невзвешенные величины:

;

; (7.49)

;

Затем на основе сравнения взвешенной (7.48) и невзвешенной величин

факторной дисперсиинаходят поправочный коэффициент:

(7.50)

Этот коэффициент используется для корректировки невзвешенных сумм

квадратов отклонений , на основе которых проводят расчет F-критериев:

(7.50)

Число степеней свободы для каждой суммы квадратов отклонений составляет:

d.f.x=m- 1; d.f.z = p - 1; d.f.xz = (m-1)(p -1) = mp - т - р + 1,

в целом

d.f.факт = d.f.x + d.f.z + d.f.xz = mp-1;

(7.51)

В двухфакторном дисперсионном анализе испытуемые гипотезы

формулируются следующимобразом:

1. Н0 : μ1• = μ2. =…μm

2. Н0 : μ1• = μ2. =…μp

3. Н0 : μ1• = μ2. =…μmp

Вся процедура двухфакторного дисперсионного анализа обобщается в табл. 7.10.

Таблица 7.10

Схема двухфакторного дисперсионного анализа

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений D	Число степеней. свободы d. f.	Средний квадрат отклонений s2 = D/d.f.	F-критерий
Факторы х и z	D′факт•K	mp - 1	s2факт
Фактор х	D′x•K	m - 1	s2x
Фактор z	D′z•K	p - 1	s2z
Взаимодействиефакторов х и z	(D′факт- D′x- - D′z)•K	mp – p-m+1	s2xz
Остаточная	Dобщ - D′факт•K	n - mp	s2ост
Общая	Dобщ	n - 1	s2