Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения

( 12.1)

Нормальная форма дифференциального уравнения

( 12.2)

где

y=y(x) -неизвестная функция, подлежащая определению,

f(x,y) - правая часть дифференциального уравнения в нормальной форме, равная первой производной функции y(x). В функцию f(x,y) помимо аргумента x входит и сама неизвестная функция y(x).

Пример:

$Описание: x \cdot y'-(x^2-1) \cdot y=0$ - общий вид дифференциального уравнения первого порядка,

$Описание: y'=\frac{x^2-1}{x} \cdot y$ - нормальная форма этого же уравнения.

Если неизвестная функция у зависит от одного аргумента x, то дифференциальное уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения

является семейство функций у=у(х,с) (рис 12.8):

Описание:

Рис. 12.8.

При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:

$Описание: y\left|_{x=x_0} = y_0 \right.,$

( 12.3)

т.е. начальной точки с координатами (х0, у0).

Нахождение частного решения дифференциального уравнения

( 12.4)

удовлетворяющего начальному условию

$Описание: y\left|_{x=x_0} = y_0 \right.,$

( 12.3)

называется задачей Коши.

В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию $Описание: y_i=f(x_i), i=\overline{1,n}$ которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (12.2) и начальному условию (12.3) на отрезке [a,b] с шагом h, то есть найти таблицу

i	x	y
0	x0	y0
1	x1	y1
2	x2	y2
3	x3	y3
...	...	...
n	xn	yn

Здесь

h - шаг интегрирования дифференциального уравнения,

a=x0 - начало участка интегрирования уравнения,

b=xn - конец участка,

n=(b-a)/h - число шагов интегрирования уравнения.

На графике (рис 12.9) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых точек с координатами (xi ,yi), $Описание: i=\overline{1,n}$ .

Описание:

Рис. 12.9.