Задачи в условиях неопределенности

Рассмотрим случай, когда для неопределенных факторов У₁,У₂,...У_s  неизвестен закон распределения вероятностей. Выбор решения основывается на принципе получения максимальной гарантированной величины показателя эффективности.

Пусть имеются допустимые значения x₁,x₂,...x_n  одного управляемого фактора Х и имеется один неконтролируемый параметр У со значениями y₁,y₂,..y_k. Обозначим значения показателя эффективности при допустимом значении х_i  и значении у_i  через Z_ij,,т.е.

                          Z_ij=Z(x_i,y_j)

Составим таблицу

При фиксировании  конкретного значения y мы получаем задачу 1 типа. Решение задач в условиях неопределенности зависит от выбранного критерия оптимальности. В теории игр определены следующие критерии оптимальности:

1) критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя)

                   Z_i= min Z_ij

                           y

Из этих значений Z_i  ищутся те допустимые значения, которые дают наибольшее значение показателя эффективности при всех значениях неконтролируемого фактора

    Zmax= max Z_i= max min Z_ij

                   x           x      y

Критерий максимизирует показатель эффективности в предположении, что неконтролируемый фактор находится в самом невыгодном состоянии. Критерий Вальда дает гарантированный выигрыш при наихудшем состоянии cреды.

2) критерий Сэвиджа определяется при построении так называемой матрицы

сожалений

                       U_ij=Z_ij-max Z_ij

                                     x

К полученной матрице применяется критерий Вальда: ищется оптимальное решение из условия   max  min U_ij

   x      y

3)критерий Лапласа основан на принципе Бернулли: если нет оснований считать одно состояние более вероятным чем другие, то они считаются равновероятными P(y₁)=P(y₂)=...=P(y_k)=1/k.

При этом задача третьего типа сводится к задачам второго типа.

4) критерий Гурвица основан на двух предположениях:

а) внешняя среда может находится в самом невыгодном состоянии с вероятностью p,

и в самом выгодном состоянии с вероятностью (1-p).

Оптимальное решение находится по критерию

     Zопт= max[(1-p)*maxZ_ij+ p*minZ_ij].

                   х                  y               y

При р=1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, а при р=0- превращается в критерий оптимиста.

Пример. Правительство собирается построить электростанцию и необходимо выбрать ее тип из 4 возможных x₁=тепловые,х₂-приплотинные,х₃-бесшлюзовые,x₄-шлюзовые.

Эффективность работы ЭС зависит от внешней среды: режима рек, топлива.

Допустим, что в состоянии среды выделено 3 разных состояния y₁,y₂,y₃. Экономическая эффективность станции зависит от состояния среды и определяется по таблице

Тогда

1) по критерию Вальда max min Z_ij=4 и следует строить станцию типа x₁.

2) по критерию Сэвиджа матрица сожалений будет выглядеть

Тогда

max min U_ij=max(-8,-6,-5,-7)=-5и строить нужно станцию типа 3

3)критерий Гурвица при p=1/2 и 1-p=1/2 дает

max[1/2maxZ_ij+1/2minZ_ij]=max[(8+4)/2,(12+2)/2,(10+3)/2,(8+1)/2]=7  

   x                                         x

и следовательно нужно строить станцию типа 2.

4) критерий Лапласа при p(y₁)=p(y₂)=p(y₃)=1/3 дает

М(х₁)= 5*1/3+8*1/3+4*1/3=17/3

M(x₂)=2*1/3+4*1/3+12*1/3=6

M(x₃)=8*1/3+3*1/3+10*1/3=7

M(x₄)=1*1/3+2*1/3+8*1/3=11/3

Максимальное значение получается при строительстве станции третьего типа. Таким образом, решение зависит от выбранного критерия.