Задачи обслуживания в системах с отказом

Получим общее решение для случая простейшего потока требований и показательного закона распределения времени обслуживания.

Постановка задачи:

Имеется п аппаратов, каждый может обслуживать только одно требование. Время обслуживания подчинено показательному закону распределения с параметром b, т.е. вероятность того, что время  обслуживания g<t равно P(g<t)=F(t)=1-e^-bt, а 1/b- математическое ожидание времени обслуживания. Поток требований простейший с параметром l, вероятность поступления равно k требований за t равна

v_k(t)=(lt)^k/k!e^-lt, где l -математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу времени.

Основным критерием функционирования системы обслуживания является вероятность отказа , т.е. что в момент времени поступления требования все аппараты заняты. Этот критерий характеризует полноту  обслуживания потока. Иногда интересно выявить среднее число занятых аппаратов. Это критерий характеризует степень загрузки системы. Выведем формулы для вычисления вероятности отказа и математического ожидания числа занятых аппаратов.

В любой момент времени система может находиться в одном из n+1 состояний:- все свободны,- занят один,- заняты два, ...., -заняты все.

Пусть N(t) - количество аппаратов, занятых обслуживанием в момент t, если в начальный момент было занято k аппаратов. Функция N(t) - случайная и относится к марковским процессам.  Обозначим через Pk(t) вероятность того, что в момент времени t занято ровно k аппаратов, т.е.

Pk(t)=P{N(t)=k} при 0<=k<=n

и через P_ik(t) -условную вероятность того, что через промежуток времени t  занято ровно k аппаратов, если в начальный момент было занято i аппаратов. Если же в момент времени t было занято i аппаратов с вероятностью P_i(t), где i=0,1,2...n, а условная вероятность перехода к k занятым аппаратам за промежуток времени t₂ равна P_ik(t₂), то полная вероятность того, что в момент времени t₁+t₂ занято k аппаратов равна P_k(t₁+t₂)=å_i=0ⁿ P_i(t₁)P_ik(t₂) (36).

Отсюда следует, что если система состоит из одного аппарата, то вероятность того, что он свободен равна P₀(t+Dt)=P₀(t)P₀₀(Dt)+p₁(t)P₁₀(Dt).

Если же в начальный момент он свободен, то P₁(t)=0 и тогда P₀(t+Dt)=P₀(t)P₀₀(Dt), где P₀₀(Dt) есть условная вероятность того, что за промежуток времени Dt аппарат занят не будет. Ясно, что эта вероятность равна вероятности того, что за это время не поступит ни одного требования. Но так как поток простейший, то P₀(t)=e^-lt=v₀(t) (37), Т.е. если в начальный момент аппарат свободен, то вероятность того, что он окажется свободным и через время t равна e^-lt откуда видно, что чем меньше l, тем больше эта вероятность.

Теорема Маркова. Если существует такое t>0, что P_ik(t)>0 (i=0,1,...n;k=0,1,...n), то для марковского процесса предел lim P_ik(t)=P_k  (k=1,2,...n)  при t->¥ существует и не зависит от i.

 Теорема :Для того, чтобы вероятность P_k(t)  при t->¥ (k=0,1,...n) имела предел P_k независимо  от начальных состояний, необходимо и достаточно, чтобы к этим же пределам стремились и условные вероятности P_ik(t) при любом начальном состоянии i.

Эти теоремы позволяют упростить вычисления, так как для всех процессов можно будет отыскивать только предельные решения.