Решение задач в условиях определенности

Задачи в условиях определенности исследуются с помощью методов линейного программирования. Рассмотрим пример:

Фирма производит 2 модели книжных полок А и В. Их производство ограничено наличием сырья и временем работы станков. Для производства модели А нужно 3 кв.м досок, а для В- 4 кв.м. В неделю присылается 1700 кв.м досок. Для изготовления модели А нужно 12 мин работы станка, а для В- 30 мин. Всего станки в неделю работают 160 часов. При продаже полки А фирма получает прибыль 2 доллара, В- 4 доллара. Сколько нужно выпускать в неделю полок А и В, чтобы фирма имела максимальный доход.

    А             В

   3 м²         4 м²     1700 м²

   12 мин   30 мин     160 часов

    2             4               ?

Процесс построения модели можно начать с ответа на вопрос:

1) для определения каких величин должна быть построена модель (какие  будут переменные)?

2) какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнить условия

задачи?

3) в чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых решений нужно выбрать оптимальное?

1) обозначим число полок типа А через х₁, а число полок типа В через х2. Тогда можно записать систему уравнений

Ограничения на расход материалов (досок, времени)

2)    3х₁+4х₂<=1700

0.2х₁+0.5х₂<=160

Ограничения на неотрицательность решения

   х₁>=0, х₂>=0

Цель получить максимальную прибыль Z и он равен

 Z=2х₁+4х₂.

 Мы знаем, что функция принимает экстремальные значения в точках, где обращается в нуль ее производная или на границах определения. Возьмем производные

dZ/dx₁=2      dZ/x₂=4 Видно, что при любых x1 и x2 производная в нуль не обращается.

Значит внутри промежутка определения функции она не имеет максимума и максимум достигается на границах промежутка. Чтобы увеличить Z ,нужно увеличивать x1 и x2, но их нельзя беспредельно увеличивать из-за ограничений на сырье и машинное время. Для определения области допустимых значений рассмотрим, как определяются допустимые значения для неравенств.