Задачи в условиях риска

Их решение зависит от трех групп факторов:

1)управляемых х₁,...х_n

2)фиксированных неуправляемых а₁,...а_m

3)неизвестных факторов с известным распределением j₁,...j_s

Тогда критерий эффективности запишется в виде:

 Z=Z(x₁...x_n,a₁...a_m,j₁...j_s)

Пример-работа магазина (критерий: уменьшение времени обслуживания, чтобы не было очередей -неизвестны моменты прихода покупателей и длительность обслуживания их продавцами, они являются случайными величинами, закон распределения которых можно найти проведя специальные наблюдения и обработав их методами математической статистики). Для решения таких задач используются два подхода:

    1)сведение к задачам первого типа, заменяя значения j₁,...j_s на их математические ожидания ( интеграл) М(j),что не всегда верно

    2) оптимизация в среднем- ищется мах математического ожидания критерия

                 Z*=max M(Z)

Применяя оптимизацию в среднем мы рискуем, так как в каждом отдельном случае могут быть большие расхождения между средними выбранными значениями критерия эффективности и значением эффективности в реальной ситуации. При многократном повторении этой операции различия сглаживаются, таким образом, применяя этот прием для часто случающихся ситуаций в среднем получают наибольший выигрыш. Для оценки величины риска используют дисперсию (среднеквадратичное отклонение Z).

Пример. Рассмотрим задачу для одного управляемого фактора х, принимающего значения х₁,...х_n. Неуправляемый случайный фактор -y, с дискретными значениями  y₁,..y_k.

Определены условные вероятности  P_ij=P(y_i/x_j). Известны Z_ij. Тогда математическое ожидание Z при значениях x_i и y_j будет записано:

                 M(z)= P_ij*Z_ij

 и задача сводится к нахождению

                           max M(Z)=max S_j^k₌₁ P_ijZ_i

                                                  ^{x                            x}

Пример: Пусть предприятие заказывает определенный тип деталей и цена одной детали -C₁ , отсутствие детали на складе при поломке обходится в C₂.

Данные о частоте выхода из строя этой детали даны в таблице

Определить сколько нужно заказать деталей, чтобы затраты были минимальны. Составим модель. Пусть x-число купленных деталей, d-потребность в деталях. Тогда запасу в х деталей будут соответствовать затраты

Z(x)=C₁*(x-d), если d<=x, т.е. лишний запас и

Z(x)=C₂*(d-x),если d>x, т.е. деталей не хватило.

Хотя нам не известно заранее, сколько деталей потребуется, но вероятность выхода из строя определенного числа деталей Рk известны (т.е. спрос на детали является случайной величиной).

Тогда ожидаемые затраты (математическое ожидание) как функция уровня запасов запишется виде

 M[Z(x)]=C₁*S_d=0^k P_d*(x-d) +C₂*S_d=k+1 P_d*(d-x)

и задача сводится к нахождению величины Х, для которой М[Z(x)] будет минимальна.