2.1.1. Модель остывания чашки кофе

     Знакомство с численными методами моделирования начнем с изучения процесса остывания чашки кофе [1]. Природа переноса тепла от кофе к окружающему пространству сложна и в общем случае включает в себя механизмы конвекции, излучения, испарения и теплопроводности. В том случае, когда разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика, скорость изменения Т объекта можно считать пропорциональной этой разности температур. Это утверждение формулируется на языке дифференциальных уравнений так

dT/dt=-r(T-Ts), (1)

где Т –температура кофе, Тs –температура окружающей среды, r-коэффициент остывания. Коэффициент остывания зависит от механизма передачи тепла, площади тела, находящегося в контакте со средой и тепловых свойств самого тела. Знак (-) появляется во избежание нефизического эффекта увеличения температуры тела, когда Т>Тs. Соотношение (1) называется законом теплопроводности Ньютона.
Уравнение (1) является примером дифференциального уравнения первого порядка, так как в него входит только первая производная неизвестной функции Т(t). Ввиду того, что множество процессов, происходящих в природе, описывается дифференциальными уравнениями, важно уметь решать эти уравнения. Рассмотрим уравнение первого порядка вида

dy/dх=g(x), (2)

     В общем случае аналитического решения уравнения (2), выраженного через хорошие функции, не существует. Даже в том случае, если оно есть, необходимо уметь представлять решение в графическом виде, чтобы понять его характер. Эти причины побуждают нас искать не точные, а приближенные численные решения дифференциальных уравнений и познакомиться с простыми методами графического представления решения.