|
2.2.1. Моделирование нелинейных процессов в экологии
Большинство явлений природы по сути своей нелинейны [1]. Примеры нелинейных процессов - модели погоды, турбулентный режим движения жидкости. Основные понятия таких процессов легко объяснить на задаче теоретической экологии. Многие биологические популяции состоят из одного поколения, которое не перекрывается ни с предыдущим, ни с последующим. Например, энцефалитный клещ откладывает личинки весной, а на следующую весну выводятся новые клещи. Так как процесс развития дискретен, то более уместно описывать его конечно-разностным уравнением. Простая модель развития популяции, не зависящая от плотности и связывающая численность популяции в (n+1) –поколении с предыдущим n-поколением, записывается в виде P n+1=aPn, где а- константа. При а>1 получается геометрический рост популяции, что не реально. В более реалистической модели численность популяции ограничивается окружающей средой. Простая дискретная модель прироста популяции, зависящая от плотности, записывается в виде P n+1=Pn(a-bPn). Второй член представляет уменьшение естественного прироста за счет перенаселения или распространения болезней. Положим Pn=(a/b)xn и получим уравнение y n+1=axn(1-xn). Введем параметр роста r=a/4 и получим уравнение вида x n+1=f(xn), где f(x)=4rx(1-x). Если xn>1, то значение x n+1 будет <0. Чтобы избежать этой нереальной ситуации, наложим условия ограничения изменения переменной x и параметра r отрезками 0£x£1 и 0£r£1. Постройте решение уравнения для начальных условий x0=0.75 и значений r=0.1, 0.8, 0.9 в зависимости от n с помощью программы и с помощью Mathcad. |