5.1. Теория марковских цепей

     На земле Оз никогда не бывает двух ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с вероятностью 1/2 будет лить дождь, либо идти снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 1/2 погода не изменится. Если она все же меняется, то в 1/2 случаев снег заменится дождем или наоборот и в 1/2 случаев на следующий день будет ясная погода. Определите вероятность ясной погоды на 3-й день, если сегодня дождь.

Математическая теория таких процессов была рассмотрена в 1907 году Марковым и получила название теории марковских цепей. В общем случае она формулируется так: пусть система может находиться в множестве различных состояний {S₁, S₂,…,S_n}. В каждый момент времени она находится в одном из таких состояний. С течением времени система может переходить в другие состояния. Вероятность того, что система переходит из состояния S_i в состояние S_j  зависит только от состояния S_i и определена матрицей переходов P, в которой p_ij - есть вероятность перехода из i-го состояния в j-е. Также задано некое исходное состояние или вектор вероятностей его реализации. Это и есть марковская цепь. Запишем матрицу переходов для погоды на земле Оз.

Матрицу переходов можно изобразить графически (рис. 13).

     В теории марковских цепей показано, что вероятность того, что система через n шагов перейдет в состояние a_j  из состояния a_i определяется матрицей перехода P₀ ⁿ

P⁽ⁿ⁾(a_j)=P[f_n=a_j]=P_j⁽ⁿ⁾  (30)

 В случае ,если p-вектор-строка, компоненты которого задают вероятности пребывания в соответствующих состояниях в данный момент, то pP задает эти вероятности на следующем шаге, а pPⁿ-через n шагов.

Тогда ответ на поставленный выше вопрос дается матрицей

Из нее видно, что вероятность хорошей погоды через 3 дня после дождя равна 13/64. Для получения степеней матрицы Р можно использовать Mathcad.

Задачи на самостоятельную работу

  1. Эскадрилья истребителей имеет 4 самолета и получает боевое задание один раз в день утром. Если к концу дня число самолетов из-за потерь уменьшается до 0, 1, 2 самолетов, то она получает из резерва 1 самолет ночью. На следующий день, если в наличии 3 или 4 самолета, то задание дается, иначе - отменяется. Каждый самолет может быть выведен из строя с вероятностью р. Если на задание посылается n самолетов, то вероятность того, что k из них будут выведены из строя, задается биномиальным распределением

(n!/(k!(n-k)!)*p^kq^n-k ,   (31)

где q=1-p.

Матрица вероятностей переходов имеет вид

Первая строка матрицы относится к случаю, когда в момент i имеется 1 самолетов, тогда в момент i+1 будет 2 самолета, так как ночью будет получено пополнение 1 самолет и не будет вылета. 2 строка- 2 самолета в момент i, нет вылета и 3 самолета в момент i+1. Третья строка - в момент i имеется 3 самолета, будет вылет, вероятность того, что в момент i+1 будет 1 самолет соответствует случаю, что все 3 самолета будут сбиты, т.е. p₃₁=p³. Вероятность того, что к моменту i+1 будет 2 самолета, соответствует тому, что один самолет вернулся, т.е. p₃₂=3p²q. Вероятность того, что в момент i+1 будет 3 самолета равна сумме вероятностей того, что вернулись 2 или 3 самолета, т.е. p₃₃=3pq²+q³. Аналогичные рассуждения применяются и для четвертой строки. При рассуждениях имеется в виду тот факт, что число самолетов определяется утром после возможного пополнения по схеме

Постройте график, представляющий матрицу переходов в этом случае.

  2.В каждом заезде на скачках определенная лошадь выигрывает заезд с вероятностью 2/5, делит первое и второе место с вероятностью 1/5 и проигрывает с вероятностью 2/5 независимо от исхода любого предыдущего заезда. Постройте матрицы Р, Р² и Р³.

  3. 80% сыновей выпускников Гарвардского университета поступают в Гарвард, остальные в Иелл, 40% выпускников Иеллского университета поступают в Иелл, остальные разделяются поровну между Гарвардом и Дортмунд и, наконец, 70% сыновей выпускников Дормундского университета поступают в Дортмунд, 20% в Гарвард и 10% в Иелл. Постройте матрицу Р. Определите вероятность, с которой внук выпускника Гарвардского университета поступает в Гарвард.

  4. Рассмотрим процесс наследования признаков, когда признак определяется одной парой генов типа G и g. Каждый индивид может иметь генные признаки типа GG, gg, Gg. Для типов Gg и gG говорят, что ген G доминирует над геном g. Тип GG называется доминантным, gg называется рецессивным, Gg называется гибридным. При скрещивании от потомков выбираются по одному гену случайным образом. Тогда GG+GG=GG, gg+gg=gg, GG+gg=Gg. При скрещивании типов GG+Gg от первого и от второго берется G  с вероятностью 1/2 и g  с вероятностью 1/2. Поэтому GG+Gg=1/2GG+1/2Gg. Аналогично gg+Gg=1/2Gg+1/2gg. Для Gg+Gg  потомство с вероятностью 1/2 получает гены каждого типа от каждого из родителей, поэтому Gg+Gg=1/4GG+1/2Gg+1/2gg. Определите матрицу Р для скрещивания индивидуума с неизвестными генными признаками и гибридным. Определите матрицы Р, Р², Р³, если начинаем с гибрида.