|
6.4. Нормальное распределение Нормальное, или гауссово, распределение ( рис. 19) –это несомненно, одно из наиболее важных и часто используемых видов распределений. Оно симметрично относительно математического ожидания и характеризуется его величиной m и среднеквадратическим отклонением s. Нормальное распределение имеет плотность вероятность f(z)=(1/2p)exp(-z2/2) c математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
Рис. 19. Нормальное распределениеВ литературе описывался целый ряд широко используемых методов генерирования нормального распределенных псевдослучайных чисел. Все они основаны на преобразовании Z=(C-m)s, так что генерируемая случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением 1. Переход к требуемому нормальному распределению осуществляется с использованием соотношения C=m+(x)s. Для получения нормального распределения используют центральную предельную теорему теории вероятностей. Если взять выборку объемом в n значений из совокупности распределенной с параметрами m и s, то сумма этих n значений будет асимптотически стремиться к нормальному распределению с математическим ожиданием nm и дисперсией ns при большом n. Если взять те же n значений из совокупности равномерно распределенной на интервале [0, 1], то m=1/2 и s=12 и из суммы наших n величин мы можем получить величину х, распределенную нормально с математическим ожиданием n/2 и дисперсией n/12. Таким образом, если взять n=12, то получим дисперсию х равную 1. Если из суммы вычесть число 6, то математическое ожидание окажется равным 0. Поэтому, если ri есть нормально распределенные случайные числа на интервале [0, 1], то можно вычислить значение случайной переменной, распределенной нормально с m=0 и s=1, по формуле х=Si=112 ri-6 (46). Тогда программа расчета такой величины будет иметь вид 10 INPUT “ВВЕДИТЕ МАТОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЮ”;EX,ST 20 S=0.0 30FOR I=1 TO 12 40A=RND(1) 50 S=S+A 60 X=ST*(S-6)+EX 70 PRINT X
Формулы и программы для других видов распределений (геометрического, биномиального, гипергеометрического) приведены в монографии [3]. Общий метод, пригодный для имитации 1) любого эмпирического распределения, 2) любого дискретного распределения, 3) любого непрерывного распределения, которое можно аппроксимировать дискретным, может быть следующим. Пусть Х -дискретная случайная величина, заданная формулой P(X=bi)=pi. Предположим, что Х можно описать при помощи распределения из табл. 8. Таблица 8
В памяти машины в ячейках с 1 по 1000 располагаем 273 величины b1, 37 величин b2, 195 величин b3,...,44 величины b10, Генерируем состоящее из 3х цифр случайное число r=d1d2d3, причем 0 £ r<1000. Число, расположенное в ячейке с номером r, присваивается переменной Х. Задачи для самостоятельного решения 1. Размеры предприятия 60*150 метров. Бомбардировщик заходит на цель по середине длинной стороны. Точка прицеливания - центр. Фактическая точка попадания по горизонтали и по вертикали имеет отклонения х и у, которые распределены нормально с нулевым средним значением. Среднеквадратичное отклонение 60 метров по х и 30 метров по у. При каждом заходе выпускается 6 ракет. Взяв объем выборки в 10 заходов, оцените среднее число попаданий при каждой атаке. 2. Число пожаров в сутки следует распределению Пуассона со средним значением 4 пожара в сутки. Данные представлены в табл. 9. Таблица 9
В 75% случаев для тушения потребовалась 1 машина, а время необходимое для ликвидации пожара имеет нормальное распределение с m =3 ч и s =0.5 часа. В остальных 25% требовалось 2 машины и время- с m=4 часа и s=1час. Определите, сколько часов в среднем они бывают нужны каждые сутки. Объем выборки 10 суток. 3. Задача о продавце Продавец газет покупает оптом в типографии газеты по 2 рубля за штуку и продает их по 3 рубля, непроданные в течение дня газеты пропадают. Из опыта продавец установил, что в среднем имеется 10 покупателей в день и число их колеблется случайным образом. Если вероятность покупки одинакова, то, сколько газет выгодно покупать продавцу? Допустим, продавец приобретает k газет и имеется m покупателей. Если m£k , то будет продано m газет и доход будет 3m-2k рублей. Если m>k , то продается только k газет и доход будет k рублей. В общем случае для случайного процесса доход определяется по формуле Ek=Sm=0 k (3m-2k)10me-10/m! +Sm=k+1 ¥ k10me-10/m! (47) Можно показать, что Ek+1-Ek=Sm=0 k(-2) 10me-10/m! + Sm=k+1 ¥10me-10/m! (48) Используя Sm=0 ¥10me-10/m!=1, (49) можно преобразовать его к виду Ek+1-Ek=1-3Sm=0 k10me-10/m! (50) Очевидно, что продавец будет покупать k+1 газету, если Ek+1-Ek >0. Поэтому число газет, которые он приобретает должно быть наименьшим значением k из всех k, при которых Ek+1-Ek <0. Построим табл. 10 вида Таблица 10
Из таблицы видно, что продавец должен покупать только 9 газет и его доход ожидается равным 6.6 рубля. При покупке 10 газет доход меньше на 6% и убытки больше, если он не найдет 10 покупателей. Проверьте с помощью Mathcad данные табл. 10. |
