7.2. Интервалы времени между заказами

    Пусть время обслуживания заказа –Т и распределение числа заказов, поступивших в течение этого Т, имеет пуассоновский характер, т.е. при среднем числе заказов l, поступающих в течение некоторого промежутка времени, вероятность появления точно n заказов за это время определяется формулой

F(n)=le^-l/n! (55)

Тогда, если средняя продолжительность интервала времени между заказами равна а, то среднее число поступивших заказов l=T/a.  В теории массового обслуживания показано, что плотность распределения вероятностей для промежутков времени t_a между моментами поступления заказов будет определяться по экспоненциальному закону

P(t_a)=le^-lta  (56)

     Если поток на одной станции подчиняется экспоненциальному закону распределения, то при заданной скорости поступления заказов l и постоянном времени обслуживания m средняя длина очереди задается выражением

n=1/m+(l/m)²/(2(1-l/m)) (57)

    Таким образом, характер поведения очереди зависит от l/m. При уменьшении l/m длина очереди сокращается. Решение проблемы очереди сводится сводится к подбору определенного соотношения между затратами на сокращение длины очереди и издержками из-за недостаточного использования средств обслуживания. Среднее время ожидания на одной станции при экспоненциальном распределении с отрицательным показателем определяется выражением t=1/(m-l)-1/m, а среднее время обслуживания t_s=1/m.

 Иллюстрацию появления и движения заявок в очереди можно представить в виде рис. 21.

    Цифры на графике соответствуют порядку поступления заявок в систему, а время ожидания определяется по отношению к общей продолжительности рассматриваемого интервала. Легко видеть, что площадь под ступенчатой кривой равна произведению nT, где n среднее число заявок в системе. Общая площадь квадратов, помеченных цифрой 3, равна 6. Это означает, что общее время ожидания третьего требования на интервале Т составило 6 единиц. То же касается и требований 4,5,6. Площадь под кривой включает время ожидания требований, поступивших на интервале Т и обслуженных на нем, плюс время ожидания требований, поступивших

 до начала этого интервала, плюс время ожидания требований, попавших за интервал Т в систему, но не обслуженных за это время. Тогда lW=n, где W- среднее время ожидания, n-длина очереди, l - средняя интенсивность поступления требований на интервале.