7.4. Стохастическая модель дорожного движения

     Пусть машины по дороге движутся в один ряд так, что пешеходу требуется определенное время, чтобы пересечь улицу. Пусть пешеход приходит в точку, из которой начнет переход улицы в момент, когда только что прошел автомобиль (рис. 25).

     Мы интересуемся ответами на такие вопросы: вероятность ожидания определенного времени (задержки) пешехода и величина времени ожидания. Правила поведения пешехода: решение начать переход зависит от близости и скорости ближайшего автомобиля. В задачах об ожидании временной интервал более существенен, чем пространственный. Учет их можно провести, наблюдая за временными интервалами в потоке машин, т.е. за временем, которое требуется ближайшему автомобилю, чтобы доехать до пешехода. Время между прохождениями двух последовательных автомобилей будем называть интервалом и измерять от времени появления в точке перехода переднего бампера автомобиля до времени появления бампера второго автомобиля. Каждому человеку


Рис. 24. Алгоритм моделирования


Рис. 25. Модель ожидания пешехода

свойственен свой критический временной интервал между появлениями автомобилей. Простейшая из возможных моделей вида интервал-решение приведена на рис. 26 и имеет вид функции Г(t)=0, если t<=T и 1, если t>T .

    Распределение во времени движения автомобилей определяется распределением вероятностей интервалов между автомобилями в ряду. Простейшим предположением относительно него является случайное распределение пуассоновского типа. Постоянная l определяет плотность транспортного потока, т.е. среднее число автомобилей, приходящих в точку перехода за единицу времени. Для плотности автомобилей более 600 авто в час, т.е. при среднем временном интервале между автомобилями < 4.5 сек  поток будет не пуассонов. Распределение числа машин определяет вероятность прибытия любого данного числа машин в данную точку за единицу времени. Если обозначить P(k)- вероятность прибытия k машин за единицу времени, получим распределение Пуассона

P(k)=e-llk/k!, (k=0, 1, 2..) (60)

Рис. 26. Ступенчатая функция интервал-решение

     Другое - распределение интервалов - дает вероятность существования пробела или интервала длиной величины t. Это распределение будет экспоненциальным с плотностью вероятности вида

F(t)=le-lt ,t>0 (61)

 (для предположения, что автомобиль имеет длину 0). Для конечной длины автомобиля a оно примет вид (рис. 27)

y(t)=le-l(t-a) . (62)

Рис. 27. Экспоненциальное распределение и экспоненциальное распределение со сдвигом

Вероятность появления интервала, превышающего данное Т, определяется соотношением

Pr(интервал>T) =òТ¥le-lTdt= e-lT    (63)

     Для транспортного потока с плотностью 600 автомобилей в час l=1/6 автомобиля в секунду. Если пешеходу требуется для перехода не менее 8 секунд, вероятность того, что он перейдет улицу без задержки составляет e-8/6=0.2636. Действительное время ожидания получается суммированием случайных временных интервалов. Так как автомобиль имеет длину, то время между прохождениями двух автомобилей всегда больше 0. Средний временной интервал при a¹0 равен (1/l+a).Распределение времени ожидания описывается функцией плотности вероятности

W(t)=e-lTd(t)+le-lTSj=0r-1[(-e-lT)j{[l(t-jT)]j-1/(j-1)!+[[l(t-jT)]j /j!}], (64)

где(r-1)T£t£rT, r=1, 2, .., а выражение для w*(s) в случае экспоненциального распределения имеет вид

W*(s)=(l+s) e-lT/(s+le-(l+s)T) (65)

Стандартный результат теории вероятностей гласит

Среднее время ожидания=-dw*(s)/ds|s=0 (66)

Дисперсия= d2w*(s)/ds2-(dw*(s)/ds)2|s=0  (67)

Это приводит к следующим выражениям

Среднее время ожидания=1/l(elT-lT-1)  (68)

Средняя дисперсия времени ожидания=1/l2(e2lT-2lTelT-1). (69)

Таким образом при Т=8с, l=1/6 машин/c среднее значение времени ожидания равно 6[e 4/3-7/3]=8.8c.