Множество

В первом параграфе мы познакомились с числовыми совокупностями или множествами. Можно говорить о других множествах: множество студентов в аудитории, множество мальчиков, множество девочек, множество студентов, достигших семнадцати лет и т.д.
Множество – совокупность объектов или понятий, объединенных общим свойством. Обозначение: A, B, C, …, A1, A2, A3, … (заглавными латинскими буквами)
Объекты, составляющие множество называются элементами.
Обозначение: a, b, c, …, a1, a2, a3, … (малыми латинскими буквами)
Множество и элемент связаны отношением принадлежности. Элемент может либо принадлежать множеству (x $\in$ A), либо не принадлежать (x $\notin$ A). Знак $\in$ называется знаком принадлежности.
Множество задается:
перечислением
A1 = {a, b, c}
указанием характеризующего свойства
A2 = {x $\in$ Z| x > 0}
(читать: множество А два состоит из всех икс, таких что икс больше нуля)
Характеризующее свойство позволяет для каждого элемента установить, принадлежит элемент данному множеству или нет.

Пусть A и B – множества.
Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Обозначение: B $\subset$ A.
Знак $\subset$ называется знаком включения. Перечеркнутый знак включения говорит о том, что первое множество не является подмножеством второго.
Например, N $\subset$ Z, Z $\subset$ R, {2,3,5} $\subset$ {2,3,7,8}.
Подумай! Любое множество является подмножеством самого себя.
Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение: Ø.
Подумай! Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: A=B.
Множество, по отношению к которому в данный момент все остальные множества являются подмножествами называется универсальным множеством. Обозначение:U.
Для числовых множеств в школьном курсе математики универсальным множеством является множество действительных чисел (R).

Операции над множествами
Для наглядного представления операций над множествами воспользуемся кругами Эйлера-Венна.
Пусть A и B – произвольные множества.

Их пересечением называется множество C, состоящее из всех общих элементов множеств A и B, т.е. x $\cap$ C тогда и только тогда, когда x $\cap$ A и x $\cap$ B.
Обозначение: C = A $\cap$ B. Знак  называется знаком пересечения множеств.
Пример.
Пусть A – множество студентов исторического факультета, B – множество студентов второго курса. Тогда, A $\cap$ B – множество студентов второго курса, учащихся на историческом факультете.
Подумай! A $\cap$ U = A, A $\cap$ A = A

Объединением A и B называется множество C, состоящее из всех элементов A и всех элементов B.
Обозначение: C = A $\cup$ B. Знак $\cup$ называется знаком объединения множеств.

Разностью A и B называется множество C, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству B.
Обозначение: C = A \ B
Разность между универсальным множеством и множеством A называется дополнением к
множеству A.
Обозначение: Ā=U \ A.
Следовательно, A $\cap$ Ā = Ø; A $\cup$ Ā = U.

Законы Де Моргана
1.
Дополнение к объединению множеств равно пересечению дополнений множеств A и B.
2.
Дополнение к пересечению множеств равно объединению дополнений множеств A и B.

Вопросы для самоконтроля:
1. Запишите множество четных и нечетных чисел с помощью характеристического свойства.
2. Приведите пример пустого множества на множестве студентов.
Назовите несколько элементов из разностей Z \ N, Q \ R.
3. Пусть U={1,2,…9}, A = {1,2,3,4,5}. Найти X, если известно, что
a. X \ A = {6,7}, A $\cap$ X={1,3,5};
b. A $\cup$ X = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A \ X = {1,4,5};
c. A $\cup$ X = {1,2,3,4,5,6,7}, A $\cap$ X= {1,2}.