Аксиоматический метод

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом.
Определение из математической энциклопедии

Аксиоматический метод появился в Древней Греции, а сейчас применяется во всех теоретических науках, прежде всего в математике. Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.
Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие.
Определение (дефиниция) – установление смысла незнакомого термина с помощью терминов знакомых и уже осмысленных или путем включения в контекст знакомых слов (контекстуальное определение), или явного формулирования равенства, в левую часть которого входит определяемый термин, а в правую – определяющее выражение, содержащее только знакомые термины.
Теорема (греч. theorema, от theoreo – рассматриваю), в математике – предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Например, в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других – острые, после слова «если» стоит условие, а после «то» – заключение.
Эти понятия и называются основными. Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказываемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами.
Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения. Выделив основные понятия и сформулировав аксиомы, далее мы выводим теоремы и другие понятия логическим путём.
В III в. до н.э. в Александрии появилась книга Евклида с названием, которое в русском переводе означает «Начала». От латинского названия «Начал» произошёл термин «элементарная геометрия». «Начала» Евклида состоят из 13 книг. 1 – 6 книги посвящены планиметрии, 7 - 10 книги об арифметике и несоизмеримых величинах, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии.
«Начала» начинаются с изложения 23 определений и 10 аксиом. Первые пять аксиом – «общие понятия», остальные называются «постулатами».
Пять «общих понятий» Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: «равные одному и тому же равны между собой», «если к равным прибавить равные, суммы равны между собой», «если от равных отнять равные, остатки равны между собой», «совмещающиеся друг с другом равны между собой», «целое больше части».
Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий – с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».
В начале XIX века H.И.Лобачевским и Я.Больяй (J.Bolyai) была открыта, так называемая, неевклидова геометрия, что явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно «объективно истинный» 5 постулат Евклида о параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX века обратить специальное внимание на дедуктивный способ построения математической теорий, что повлекло за собой возникновение новой проблематики, связанной с самим понятием аксиоматического метода, и формальной (аксиоматической) математической теории.