Затухающие колебания в электрическом контуре

        Рассмотрим, например, электрический колебательный контур с активным сопротивлением:

        В отличие от ранее рассмотренного идеального контура наличие сопротивления обеспечивает потери электромагнитной энергии в контуре, что ведет к затуханию колебаний. Закон Ома для контура 1-L-R-2 запишется следующим образом (обозначения те же, что и ранее):

        Сделав в этом уравнении те же подстановки, получим:

     или    

где          и    

        Решением канонического дифференциального уравнения затухающих колебаний величины x является:

        В этом уравнении: - амплитуда затухающих колебаний; j₀ - начальная амплитуда; - циклическая частота затухающих колебаний (слово "циклическая" будем для краткости обычно опускать, когда и так ясно, о какой частоте идет речь). Период затухающих колебаний T = 2p/w.

        Затухающие колебания формально не попадают под определение периодических колебаний, - каждое последующее колебание не в точности повторяет предыдущее (см. график). Поэтому - опять же формально - нельзя пользоваться понятиями, введенными для периодических колебаний (частота, период). Чтобы обойти эту логическую неувязку, w и T определяют как условную частоту и условный период, а затем про "условные" слова тут же забывают.

посмотреть колебания волны на осциллографе

        Частота затухающих колебаний, разумеется, не может быть отрицательной, поэтому формулы для x и w справедливы при b < w₀. Если же мы имеем случай b > w₀, или b = w₀, что означает большое трение в системе, то колебаний не происходит; система, будучи выведенной из равновесия, возвращается к равновесному состоянию без колебаний. Такое движение называется апериодическим (то есть не периодическим, см. график, на котором показаны возможные апериодические движения а и б).